Faktoriál kalkulačka

Kalkulačka vypočítá faktoriál čísla – tedy výsledek, který vznikne součinem všech přirozených čísel od 1 po n.

Jak vypočítat faktoriál

• zadáme přirozené (kladné) číslo,
• klikneme na tlačítko „Vypočítat“,
• kalkulačka vypočítá faktoriál přirozeného čísla.

Co je faktoriál čísla

V matematice jím označujeme součin všech přirozených čísel od 1 po n. Zapisujeme ho jako n! a čteme jako „n faktoriál“.

Platí, že 0! = 1.

Faktoriály používáme například při počítání různých možností uspořádání věcí nebo při řešení úloh z pravděpodobnosti např.:

• Kolika způsoby můžeš uspořádat 5 knih?
• Kolik různých způsobů existuje pro usazení 4 lidí kolem stolu?

Zjednodušeně řečeno, faktoriál nám řekne, kolika různými způsoby můžeme něco uspořádat nebo vybrat.

V matematice známe také tzv.:

• dvoufaktoriály (označujeme n!!), ve kterém činitele snižujeme po dvou namísto po jednom. Např. 6!! = 6 * 4 * 2 = 48,
• multifaktoriály (označujeme n!^(k)), které zobecňujeme podobně jako dvoufaktoriály,
• superfaktoriály (označujemesf(n)), které označují součin všech faktoriálů on n po 1. Např. sf(5) = 5! * 4! * 3! * 2! * 1! – 34560,
• hyperfaktoriály (označujeme H(n)), které označují součin mocnin všech čísel od nⁿ po 1. Např. H(5) = 5⁵* 4⁴* 3³* 2²* 1¹= 3125 * 256 * 27 * 4 * 1 = 8 640 000

Faktoriál vzorec

n! = n * (n -1) * (n -2) * … * 2 * 1

Ve vzorci faktoriál nikdy nezahrnujeme násobení nulou, protože definice 0! je samostatná a slouží k zachování konzistence v kombinatorice a jiných oblastech.

Pokud bychom chtěli vypočítat faktorial 5!, tak podle vzorce:

5! = 5 * (5-1) * (5-2) * (5-3) * (5-4) * (5-5) = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120

Tabulka faktoriálů od 0 do 20

Faktoriály čísel od 0 po 20 se často používají v matematice, kombinatorice, programování či fyzice. Tato tabulka nám umožní rychle nalézt hodnotu faktoriálu bez potřeby výpočtu. Stačí najít požadované číslo a prohlédnout si jeho faktoriál.

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5 040
8	40 320
9	362 880
10	3 628 800
11	39 916 800
12	479 001 600
13	6 227 020 800
14	87 178 291 200
15	1 307 674 368 000
16	20 922 789 888 000
17	355 687 428 096 000
18	6 402 373 705 728 000
19	121 645 100 408 832 000
20	2 432 902 008 176 640 000

Faktoriál příklady

Příklad z kombinatoriky

Chceme vědět, kolika různými způsoby umíme uspořádat 3 knihy na poličce.

Řešení:

Dosadíme do vzorce pre výpočet faktoriálu.

n! = n * (n -1) * (n -2) * … * 2 * 1

3! = 3 * 2 * 1 = 6

Výsledek:

Počet uspořádání na poličce 3 knih je 6 možných uspořádání.

Řekněme, že knihy mají červený, modrý a žlutý obal. Možnosti by tedy byly:

• Červená, Modrá, Žlutá,
• Červená, Žlutá, Modrá
• Modrá, Červená, Žlutá
• Modrá, Žlutá, Červená
• Žlutá, Červená, Modrá
• Žlutá, Modrá, Červená

Příklad z pravděpodobnosti

V loterii si vybíráme 6 čísel ze 49. Kolik různých kombinací výběru může vzniknout?

Řešení:

Používáme vzorec:

(n!) / (k! * (n – k)!)

Tento vzorec se používá pro výpočet počtu kombinací, tedy výběrů bez opakování, kde nezáleží na pořadí vybraných prvků.

kde:

• n – celkový počet prvků, ze kterých vybíráme (např. počet čísel v loterii, počet knih, hráčů),
• k – počet prvků, které vybíráme (např. kolik čísel si vybíráš, kolik knih chceš dát do sestavy),
• n!– faktoriál čísla n, tedy součin všech přirozených čísel od 1 do n,
• k! – faktoriál čísla k, tedy součin všech přirozených čísel od 1 do k,
• (n−k)! – faktoriál rozdílu n−k, tedy součin všech přirozených čísel od 1 po n−k.

Dosadíme do vzorce:

(49!) / 6! * (49 – 6)! = 13 983 816

Výsledek: Existuje 13 983 816 všech možných kombinací, kterými můžeme vybrat 6 čísel ze 49 (bez opakování a nezáleží na pořadí).

Bonus: Pokud bychom chtěli vypočítat pravděpodobnost, že uhodneme všech 6 čísel z loterie, tak vypočítáme:

1 / 13 983 816 ≈ 0,0000000715

0,0000000715 * 100 = 0,00000715 %

Výsledek: Šance že bychom uhodli 6 čísel ze 49 při loterii je 0,00000715%. Jinak řečeno, je šance 1 ku 13 983 816, že trefíme 6 vylosovaných čísel ze 49.

Příklad Taylorovy řady

Taylorův řadu používáme na přibližné výpočty složitých funkcí, například goniometrických funkcí jako sin(x), pokud není k dispozici kalkulačka nebo počítač.

Příklad: Vypočítejme hodnotu funkce sin(x) pro x=π / 6 (tzn. 30°) pomocí Taylorovy řady se třemi členy.

Vzorec:

Taylorova řada pro sin(x) ≈ x – x³/3! + x⁵/5! – x⁷/7! + …

Řešení:

Dosadíme hodnotu x = π / 6 = 0,5236 (výpočet je v radiánech, tzn. přibližně 3,14 / 6 což představuje úhel) do vzorce:

sin (π / 6) ≈ sin (0,5236) ≈ 0,5236 – 0,5236³/3! + 0,5236⁵/5! ≈ 0,5236 – 0,1435/6 + 0,0394 / 120 ≈ 0,5236 – 0,0239 + 0,00033 ≈ 0,50003

sin(0,5236) = 0,5

Výsledek porovnáme s reálnou hodnotou:

sin (π/6) = 0,5 (tzn. 30°) versus 0,50003. Rozdíl je 0,0003, čili můžeme vidět že se hodnota velmi blíží k původní hodnotě a právě v tomto spočívá síla Taylorovy řady při numerických výpočtech – čím více členů bychom počítali, tím by byla větší přesnost a menší rozdíl.

Příklad z programování her

Pokud bychom chtěli napsat program hádanky, ze kterého může hráč uspořádat tři různé objekty ve hře, tak se použije počet permutací 3! = 6

Řešením by bylo, že hráč ve hře může uspořádat objekty 6 možnými způsoby (viz např. podobný příklad z kombinatoriky výše).

Často kladené otázky (FAQ)

Související kalkulačky

• Mocniny a odmocniny
• Aritmetický průměr
• Vážený průměr
• Geometrický průměr
• Harmonický průměr
• Generátor čísel

Zdroje:

• Faktoriál: https://cs.wikipedia.org/wiki/Faktori%C3%A1l
• Superfaktoriál: https://sk.wikipedia.org/wiki/Superfaktori%C3%A1l
• Hyperfaktoriál: https://sk.wikipedia.org/wiki/Hyperfaktori%C3%A1l
• Taylorov rad: https://sk.wikipedia.org/wiki/Taylorov_rad