Mocniny a odmocniny (kalkulačka)

Kalkulačka mocniny vypočítá hodnotu čísla umocněného na daný exponent a kalkulačka odmocniny vypočítá číslo, které po umocnění na daný stupeň dá původní číslo.

Kalkulačka mocniny

Kalkulačka odmocniny

Jak vypočítat mocninu čísla?

Pokud chceme získat mocninu čísla, postupujeme následovně:

• zadáme základ – vložíme číslo, které chceme umocnit,
• zadáme exponent – uvedeme, na jakou mocninu chceme základ umocnit,
• klikneme na tlačítko „Vypočítat“ – kalkulačka zobrazí výsledek umocnění.

Tato kalkulačka nám pomůže rychle vypočítat například druhou, třetí či čtvrtou mocninu.

Jak vypočítat odmocninu čísla?

Pokud potřebujeme získat odmocninu čísla, postupujeme takto:

• zadáme číslo – vložíme hodnotu, ze které chceme vypočítat odmocninu,
• zadáme stupeň odmocniny – například 2 pro druhou odmocninu, 3 pro třetí,
• klikneme na tlačítko „Vypočítat“ – kalkulačka zobrazí výsledek odmocnění.

Mocniny

Přestavme si, že máme vypočítat obsah čtverce. Vzorec je:

S = a² nebo také a * a

Kde:

„a²“ nazýváme druhá mocnina čísla a. Čteme „a na druhou„. Říkáme, že „umocňujeme číslo a na druhou„.

Číslo „a“ v mocninách (např. a²) nazýváme základ mocniny. Čísla 1,2,3,… 10, … (např. a²) nazýváme mocnitel nebo exponent mocniny.

Pokud bychom měli vypočítat objem kostky, tak vzorec je a³ nebo také jako a * a * a.

„a³“ nazýváme třetí mocnina čísla a. Čteme „a na třetí„. Říkáme, že „umocňujeme číslo a na třetí„ atd.

Druhé mocniny opačných čísel se rovnají. Platí a²= (-a)². Čísla a, -a jsou opačná čísla.

• Sudá mocnina kladného i záporného čísla je vždy kladné číslo, např. 2² nebo (-2)²= 4
• Lichá mocnina kladného čísla je vždy kladné číslo, např. 2³= 8.
• Lichá mocnina záporného čísla je vždy záporné číslo, např. (-2)³= -8.

Čísla, která čteme stejně zleva i zprava, nazýváme palindromy. Příklad:

• 1²= 1
• 11²= 121
• 111²= 12321
• 1111²= 1234321

Platí, že nultá mocnina nuly je stále nula, tj. 0⁰ = 0, ale jakékoli nenulové číslo na nultou je, např. 3⁰= 1.

Mocnina s přirozeným mocnitelem je výraz aⁿ.

• a je základ mocniny, n je mocnitel (exponent) mocniny, a může být libovolné číslo,
• n je přirozené číslo, takže může být 1,2,3,4,… čteme jako „a nan-tou„.

Odmocniny

Každá počtová operace má v matematice svoji opačnou operaci. Proto opakem mocniny je odmocnina a opakem umocňování je odmocňování.

Pokud víme, že zahrada má plochu 100 m² a má tvar čtverce, tak jakou délku má tato zahrada?

Řešení:

Obsah čtverce je a * a, nebo také a². Pokud víme, že S = a², tak a² = 100 a tím pádem a = √100 = 10. Odpovědí by bylo, že zahrada má délku 10 metrů.

Říkáme, že druhá odmocnina z a je také číslo b, jehož druhá mocnina je a.

Zapsáno stručněji a matematicky: √a = b právě tehdy, když b²=a pro a >= 0,b >=0.

• √ = znak odmocnění (v našem případě druhá odmocnina),
• a = základ odmocniny (odmocnenec),
• b = výsledek odmocnění.

Podobně říkáme, že třetí odmocnina z a je číslo b, jehož třetí mocnina je a.

Zapsáno stručněji a matematicky: ∛a = b právě tehdy, když b³=a.

• ∛ = znak odmocnění (v našem případě třetí odmocnina),
• a = základ odmocniny (odmocnenec),
• b = výsledek odmocnění.

Platí, že:

• √0 = 0,
• √1 = 1,
• ∛0 = 0,
• ∛1 = 1.

Nejčastější chyby při počítání mocnin a odmocnin

Při práci s mocninami a odmocninami se často opakují stejné chyby. Nesprávné použití závorek, znamének nebo exponentů může vést k úplně jinému výsledku. Právě proto je důležité rozumět významu jednotlivých matematických zápisů, nejen mechanicky počítat.

• záměna (-2)² a -2²,
• nesprávné použití závorek,
• odmocňování záporných čísel,
• chyba při práci s nulovým exponentem,
• zaměňování druhé a třetí odmocniny.

Graf mocnin a odmocnin

Na obrázku výše vidíme funkce (mocniny prezentované plnou čarou) ak nim inverzní funkce (odmocniny).

Funkce – y = – x^-2 nemá inverzní funkci, protože:

• je symetrická pouze v jedné části svého definičního oboru (pouze pro kladné nebo jen pro záporné x),
• k tomu, aby funkce měla inverzní funkci, musí být jednoznačná (y nesmí mít dvě různé hodnoty pro jedno x), což v našem případě neplatí.

Všimněme si, že modrá přerušovaná čára (y = √x) nám chybí v levém horním kvadrantu, protože funkci definujeme pouze pro x ≥ 0. V reálných číslech není odmocnina ze záporného čísla definována (pouze v komplexních číslech).

Praktické využití mocnin a odmocnin v běžném životě

Mocniny a odmocniny nejsou jen školní matematika. Používají se ve stavebnictví, financích, informatice, fyzice i statistice. Díky nim lze rychle popsat růst, obsah, objem nebo změny hodnot v čase.

Výpočet plochy a objemu

Při výpočtu plochy čtverce používáme druhou mocninu:

S = a²

Při výpočtu objemu krychle používáme třetí mocninu:

V = a³

Tyto výpočty se používají například při návrhu podlah, bazénů, místností nebo stavebních materiálů.

Investování a složené úročení

Ve financích mocniny pomáhají počítat růst investic. Pokud se úrok pravidelně připisuje, hodnota investice roste exponenciálně. Příkladem je výpočet budoucí hodnoty investice:

A = P (1 + r)ⁿ

Tento princip využívají spořicí účty, investiční fondy i důchodové produkty.

Informatika a digitální technologie

Počítače pracují v binární soustavě založené na mocninách čísla 2. Proto mají kapacity pamětí hodnoty jako:

2¹⁰ = 1024

Mocniny používáme také při šifrování, kompresi dat nebo programování.

Fyzika a vědecké výpočty

Ve fyzice se mocniny objevují například při výpočtu energie nebo rychlosti pohybu:

E = mc²

Bez mocnin by nebylo možné jednoduše zapisovat velmi velká nebo velmi malá čísla používaná ve vědě.

Jak zadat mocniny a odmocniny na kalkulačce, mobilu nebo v Excelu

Různá zařízení používají pro zápis mocnin a odmocnin odlišné symboly. Správný zápis je důležitý hlavně při používání vědeckých kalkulaček, tabulek nebo online nástrojů.

Na většině kalkulaček a mobilů se mocnina zapisuje pomocí symbolu: ^

Například: 5^3 (znamená 5 na třetí)

V některých programech lze použít také funkci: POWER(5;3) která vrátí výsledek 125.

Druhá odmocnina se často zapisuje funkcí: SQRT(81). Výsledkem je číslo 9.

Vyšší odmocniny se někdy zapisují pomocí exponentů: $\sqrt[3]{27}=27^{\frac{1}{3}}$. Tento způsob používají hlavně pokročilé kalkulačky a matematické programy.

Nejčastěji kladené otázky (FAQ)

Související kalkulačky

• kalkulačka geometrického průměru

Zdroje:

• KOLBASKÁ, Viera. Matematika pre 9. ročník základnej školy a 4. ročník gymnázia s osemročným štúdiom 1 časť. Prvé vydanie Mladé letá, 2022. 143 s. ISBN: 978-80-10-02291-5
• Umocňování: https://cs.wikipedia.org/wiki/Umoc%C5%88ov%C3%A1n%C3%AD
• Odmocnina: https://cs.wikipedia.org/wiki/Odmocnina
• Mocninná funkce: https://cs.wikipedia.org/wiki/Mocninn%C3%A1_funkce